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浙大四版概率论与数理统计 《假设检验》

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第一节

假设检验

一、假设检验的基本原理

二、假设检验的相关概念
三、假设检验的一般步骤 四、小结

一、假设检验的基本原理
在总体的分布函数完全未知或只知其形式、 但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性 质, 提出某些关于总体的假设.

例如, 提出总体服从泊松分布的假设;
又如, 对于正态总体提出数学期望等于 ? 0 的 假设等. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作 出判断: 是接受, 还是拒绝.

假设检验问题是统计推断的另一类重要问题. 如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理 论分析相结合的做法,其基本原 理就是人们在实际问题中经常 采用的所谓实际推断原理:“一 个小概率事件在一次试验中几 乎是不可能发生的”. 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.

实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的 袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当 机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015 千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机 地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析: 用 ? 和 ? 分别表示这一天袋
装糖重总体 X 的均值和标准差,

问题: 根据样本值判断 ? ? 0.5 还是 ? ? 0.5 . 提出两个对立假设 H 0 : ? ? ? 0 ? 0.5 和 H1 : ? ? ? 0 . 由于要检验的假设设计总体均值, 故可借助于样本 均值来判断.
因为 X 是 ? 的无偏估计量,

X ? ?0 当H 0为真时, ~ N (0,1), ?/ n
所以若 H 0 为真, 则 | x ? ? 0 | 不应太大,

? ? ? X ? ?0 ? 注意到P ? ? z? / 2 ? ? ?,从而该事件是小概率事件 ? ? ??/ n ? x ? ?0 x ? ?0 当 ? z? / 2时, 拒绝H 0 , 当 ? z? / 2时, 接受H 0 . ?/ n ?/ n

假设检验过程如下:
由样本算得 x ? 0.511, 在实例中若取定? ? 0.05, 则 z? / 2 ? z 0.025 ? 1.96, 又已知 n ? 9, ? ? 0.015, x ? ?0 即有 ? 2.2 ? 1.96, ?/ n 于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常.

二、假设检验的相关概念
1. 显著性水*
当样本容量固定时, 选定?后, 数 k 就可以确 定(k ? z ? ), 然后按照统计量 z ?
2

x ? ?0

?/ n 的绝对值大于等于 k 还是小于 k 来作决定.

的观察值

x ? ?0 如果 z ? ? k , 则称 x 与? 0的差异是显著的, ?/ n 则我们拒绝 H 0 ,

x ? ?0 反之, 如果 z ? ? k , 则称 x 与? 0的差异是 ?/ n 不显著的, 则我们接受 H 0 ,

数 ? 称为显著性水*.
上述关于 x 与 ? 0 有无显著差异的判断是在显 著性水* ? 之下作出的.

再考察实例,取显著性水*0.02

2. 检验统计量
X ? ?0 统计量 Z ? 称为检验统计量. ?/ n

3. 原假设与备择假设
假设检验问题通常叙述为: 在显著性水*?下,

检验假设 H 0 : ? ? ? 0 , H1 : ? ? ? 0 .
或称为“在显著性水*?下, 针对 H 1检验 H 0” .

H 0称为原假设或零假设 , H1 称为备择假设.

4. 拒绝域与临界点
当检验统计量取某个区域C中的值时, 我们 拒绝原假设H0, 则称区域C为拒绝域, 拒绝域的边 界点称为临界点.

如在前面实例中,
拒绝域为 | z |? z? / 2 , 临界点为 z ? ? z? / 2 , z ? z? / 2 .

5. 两类错误及记号
假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验 中很难发生, 但很难发生不等于不发生, 因而假 设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误 有两类:

(1) 当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而 作出了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃 真错误, 这类错误是“以真为假”. 犯第一类错 误的概率是显著性水* ?.
? =P{当 H 0 真拒绝 H 0 } =P??H { 拒绝 H 0 }.
0

(2) 当原假设 H0 不真, 而观察值却落入接受域, 而作出了接受 H0 的判断, 称做第二类错误, 又叫 取伪错误, 这类错误是“以假为真”. 犯第二类错误的概率记为
P {当 H 0 不真接受 H 0 } 或 P??H1 { 接受 H 0 } .

当样本容量 n 一定时, 若减少犯第一类错误 的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大.

若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加 样本容量.

6. 显著性检验
只对犯第一类错误的概率加以控制, 而不考 虑犯第二类错误的概率的检验, 称为显著性检验.

7. 双边备择假设与双边假设检验
在 H 0 : ? ? ? 0 和 H 1 : ? ? ? 0 中, 备择假设 H 1 表示 ?可能大于? 0 , 也可能小于 ? 0 , 称为双边备择 假设, 形如 H 0 : ? ? ? 0 , H 1 : ? ? ? 0 的假设检验称 为双边假设检验.

8. 右边检验与左边检验
形如 H 0 : ? ? ? 0 , H 1 : ? ? ? 0 的假设检验 称为右边检验.
形如 H 0 : ? ? ? 0 , H 1 : ? ? ? 0 的假设检验 称为左边检验.
右边检验与左边检验统称为单边检验.

三、假设检验的一般步骤
1. 根据实际问题的要求, 提出原假设 H 0 及备择 假设 H 1 ;
2. 给定显著性水*? 以及样本容量 n ;

3. 确定检验统计量以及拒绝域形式;

4. 按 P{ H 0 为真拒绝 H 0 } ? ? 求出拒绝域;
5. 取样, 根据样本观察值确定接受还是拒绝H 0 .

四、小结
假设检验的基本原理、相关概念和一般步骤.
假设检验的两类错误

真实情况 (未知)
H0 为真 H0 不真


接受 H0 正确






拒绝 H0

犯第I类错误 正确

犯第II类错误




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